2 Expression complexe

3 Ajout d'un offset

1. Expression réelle

Soit s(t) un signal sinusoïdal de fréquence f₀ (le son pur d’un diapason par exemple) et d’amplitude a :

s(t) = a cos(2p f₀t) = a cos(2p t/T)

avec T = 1/f₀ la période du signal.

Représentation temporelle                              Représentation fréquentielle

On voit sur les représentations ci-dessus qu'à une sinusoïde dans la représentation temporelle correspond une raie dans la représentation fréquentielle: a d(f₀), une impulsion de Dirac décalée de f₀ et d'amplitude a.

Si ce signal est décalé de t dans le temps, il devient :

s(t) = a cos[2p f₀(t - t )] = a cos(2p f₀t - j₀]

avec j₀ = 2p f₀t la phase.

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2. Expression complexe

En introduisant les exponentielles complexes :

e^-ix = cos x + i.sin x

et en utilisant la formule d’Euler :

cos x = ½ (e^ix + e^-ix)

et en posant j ₀ = 0, on peut écrire :

s(t) = a/2 (e^{2ip f0t} + e^{-2ip f0t})

soit :

s(t) = (a/2)e^{2ip f0t} + (a/2) e^{-2ip f0t}

s(t) peut alors être interprété comme étant la somme de 2 signaux complexes d’amplitude a/2 et de fréquence f₀ et -f₀ . Même si cette notion de fréquence négative dérange nos sens à première vue, vous verrez plus tard qu'elles existent bel et bien et pour nous enquiquiner évidemment!

Si la période T du signal s’allonge pour tendre vers l’infini, s(t) tend vers un signal continu, la fréquence f₀ tend vers 0 :

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3 Ajout d'un offset

Nous venons de voir que la somme de 2 signaux de périodes différentes dans le domaine temporel se retrouve dans le domaine fréquentiel avec la somme de 2 raies à des fréquences différentes.

Si, dans le domaine temporel, on "décale" verticalement la sinusoïde en lui ajoutant une valeur continue d'amplitude b, on retrouvera dans le domaine fréquentiel les deux rais de la sinusoïde plus une raie à f=0 pour le signal continue.

Cette raie à f=0 représente la valeur moyenne du signal et vaut:

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