| 1 Présentation 2 Algorithme
3 Propriétés
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Il en existe une version discrète de la transformée de Fourier
(TFD), permettant de travailler sur des signaux échantillonnés:
avec x(n) l’échantillon temporel, X(k) l’échantillon fréquentiel,
N le nombre d’échantillons (de points) sur lesquels la transformé
est calculée.
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La TFD présente la particularité de pouvoir se mettre sous
une forme matricielle :
avec 
Celle-ci se calcule aisément sur ordinateur par un
algorithme de TFR (Transformée de Fourier Rapide, FFT en anglais), comme celui
de Cooley-Tuckey (papillon).
Ceci est une FFT sur 8 points : 8 échantillons temporels à
droite et donc 8 échantillons fréquentiels à gauche.
Remarquez que l’ordre des échantillons temporels (à
droite) est différent de celui des échantillons fréquentiels à
gauche. On parle d’entrelacement temporel. Il est possible de
conserver les échantillons temporels dans l’ordre, les échantillons
fréquentiel étant alors «mélangés» : c’est
l’entrelacement fréquentiel. Pour trouver l'ordre d'entrelacement,
écrivez les indices en binaire en intervertissant le sens d'écriture
des bits. Dans l'exemple ci-dessus, les 8 échantillons sont indicés de
0 (000) à 7 (111). L'échantillon à la 7ème place (indice 6: 110) est
celui indicé 3 (011).
Remarquez également la structure récursive de
l'algorithme: calculer une FFT sur 8 points revient à en calculer 2 sur
4 points, chacune de ces deux revenant à en calculer 2 sur 2 points ...
Voilà pourquoi le nombre de point doit être une puissance de 2. Dans
le cas contraire, vous ne pouvez pas utiliser cet algorithme de FFT et
vous devez alors calculer une TFD et c'est nettement plus long!
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Si la TFD conserve les propriétés de la TF, elle
présente quelques particularités :
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Le nombre d’échantillons fréquentiel (X0
... XN-1) est le même que le nombre d’échantillons
temporels (x0 ... xN-1). |
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Les échantillons (X0 ... XN-1)
sont répartis linéairement entre 0Hz et fe la fréquence
d’échantillonnage. |
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La
FFT se comporte comme un banc de N filtres RII (Réponse
Impulsionnelle Infinie) en parallèles. |
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Le
prélèvement du signal temporel se fait par une fenêtre, ce qui
revient à une multiplication. En application du théorème de
Plancherel, cela entraîne, dans le domaine fréquentiel, une
convolution du spectre du signal par le spectre de la fenêtre. |
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Le
passage dans le domaine spectral fait perdre les informations
temporelles : on sait dans quelle fenêtre s’est produit l’événement,
mais pas à quel instant. |
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Le fait de travailler sur un signal échantillonné,
périodise le spectre tous les fe , d'où la nécessité
de prévoir un filtre anti-repliement. |
Je reviendrai par la suite sur certaine de ces
propriétés.
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